Patrick Russell wurde in seiner dänischen Heimat Gentofte sowie im schwedischen Linköping in der Jugend ausgebildet, ehe er in der Saison 2013 seine erste Saison im Seniorenbereich spielte. Für die Waterloo Black Hawks bestritt Patrick in der USHL insgesamt 55 Partien und wechselte zur kommenden Saison in die NCAA zur St. Cloud State University. Nach zwei Jahren ging es für den Dänen in die AHL zu den Bakersfield Condors.

Für das Farm-Team der Edmonton Oilers kam Patrick ab der Saison 2015/2016 in insgesamt drei Spielzeiten zum Einsatz und verbuchte in 187 Spielen 84 Punkte. In der Saison 2018/2019 feierte der Angreifer sein Debüt in der nordamerikanischen NHL im Spiel gegen die Calgary Flames – für die Edmonton Oilers, bei denen er zusammen mit Leon Draisaitl spielte, kam der Däne bis zur Saison 2020/2021 auf insgesamt 59 Einsätze. Er war zu diesem Zeitpunkt der zwölfte dänische Spieler, der in der NHL zum Einsatz kam.

Nach seiner Zeit bei den Oilers ging es für Patrick zurück nach Europa – genauer gesagt nach Schweden. Von 2021 bis 2025 spielte der Däne insgesamt vier Spielzeiten für seinen Jugendverein Linköping HC in der schwedischen ersten Liga (SHL: 198 Einsätze, 117 Punkte).

Für die dänische Nationalmannschaft nahm Patrick zudem an insgesamt sechs Weltmeisterschaften sowie den olympischen Winterspielen 2022 in Peking teil. Seinen bis dato letzten internationalen Einsatz feierte er im Mai 2025 bei der Eishockey-WM im eigenen Land, wo sich Dänemark durch einen historischen Sieg über Kanada erstmals für das Halbfinale qualifizierte und am Ende auf Platz vier landete. Patrick kam in allen zehn WM-Spielen als Assistenzkapitän zum Einsatz (sieben Punkte).