Der in Bobcaygeon, Ontario groß gewordene Brady Austin bahnte sich über die kanadische Juniorenliga OHL den Weg in den Profi-Sport. Zwar wurde der 1,93-Meter-Hüne von den Buffalo Sabres (fünf Spiele) in der siebten Runde des NHL-Draft ausgewählt, doch den Großteil seiner Nordamerika-Zeit verbrachte Brady in der AHL. Dort spielte er für die Rochester Americans und später für Cleveland und Stockton. Insgesamt kam er auf 277-Partien in der AHL ehe er nach Europa wechselte.

Nach einem halben Jahr in Dänemark ging es für Brady 2019 nach Tschechien. Im Trikot von Kladno startete er so richtig durch und wurde mit 18 Toren und 25 Vorlagen in 52 Spielen der punktbeste Verteidiger der Liga. Nach einem Jahr bei Torpedo Novgorod wechselte Brady in der Saison 2021/2022 zu Tappara in die finnische Liiga. Mit ihnen gewann er die finnische Meisterschaft.

Bei den Haien avancierte Brady seit seinem Wechsel im Sommer 2022 prompt zum Leistungsträger. In seinen drei Jahren kommt der Assistenzkapitän der Saison 2025/2026 auf 177 Einsätze für die Haie (23 Tore, 46 Assists).